Geometría no euclidiana
Gauss al igual que el ruso
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), y el húngaro János Bolyai (1802-1860),
crearon independientemente las geometrías no euclidianas. Gauss se adelantó en
el tiempo a los otros matemáticos, pero no publicó sus resultados.
Carl Friedrich Gauss nació
en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de
Göttingen. Gauss produjo resultados del más alto nivel en casi todos los campos
de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe
de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la
historia.
Los esfuerzos de Gauss en la
geometría no euclidiana empezaron desde 1792, cuando tenía 15 años, cuando le
habría dicho a su amigo Schumacher que tenía la idea de una geometría válida
sin el quinto postulado euclidiano. No obstante Gauss pasó varios años tratando
de deducir el postulado a partir de otros.
En 1799 Gauss le escribió un
carta al matemático húngaro Wolfgang Farkas Bolyai (1775-1856) en la que le
expresaba su opinión: no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados
euclidianos, y empezó a prestarle mucho cuidado a la existencia de geometrías
sin ese postulado válidas y también aplicables a la realidad.
A partir de 1813 Gauss
trabajó en la nueva geometría que llamó primero anti-euclidiana, luego astral y
finalmente no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión que no podía probarse que
los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y su verdad
necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.
Carl
Friedrich Gauss
Imagen
tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
Geometría
Analítica
Conecta los conceptos de la
geometría con los del álgebra y viceversa; al decir de Descartes, la expresión
de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigüedad esta vinculación
se trató de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discípulo de Eudoxo, se
supone que conocía algo de geometría analítica; aunque con las limitaciones
impuestas al álgebra por los griegos es difícil que esto haya sido muy
desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en su famosa obra Las Cónicas, y
quien vivió alrededor de los años 262 y 190 a.C., usó rectas de referencia para
puntos, también un diámetro y una tangente a la misma para expresar esos
puntos; es decir, algo parecido a lo que en geometría analítica moderna hacemos
cuando usamos los ejes de coordenadas. También Pappus y Omar Khayyam los usaron
en su resolución de ecuaciones cúbicas.
Parte de la obra de Las
Cónicas fue traducida por los árabes y fue introducida en Europa precisamente
por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un científico amigo de Newton.
René
Descartes
Imagen
tomada de http://tamezuando.com.br/tag/renascenca/
Geometría
proyectiva
Un campo de la geometría que
también posee importancia fue el estudio de las propiedades proyectivas de las
figuras, lo que se suele llamar como la Geometría Proyectiva. Puede encontrarse
trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la
obra desarrollada primeramente por Gaspard Monge (1746-1818), quien fue director
de la Ecole Polytechnique en Francia y que, muchas veces, se caracteriza como
el primer especialista moderno de la geometría. Monge publicó su libro
Géométrie descriptive, que condensaba sus lecciones en la Ecole Normale entre
1794 y 1795, que utilizaba proyecciones
Fue, sin embargo, un
discípulo de Monge, Jean Victor Poncelet (1788-1867), quien realmente hizo una
gran sistematización de estas propiedades proyectivas de las figuras
(Applications d'analyse et de géométrie 1813-1814, Traité des propietés
projectives des figures , 1822).
Jean Victor Poncelet
Imagen tomada de http://juliatesta.blogspot.com/2013/04/homologia-y-afinidad.html
Geometría
diferencial
Riemann hizo más que crear
una nueva geometría: colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico
más general. Ya no se trataba de que se cumpliera el postulado de las paralelas
o no, Riemann preconizaba un cambio de visión total sobre la geometría. Para
Riemann la geometría ya no debía ser sobre puntos o las rectas del espacio como
solemos conocerlo, la geometría debía tratar de lo que se llama variedades. Vamos
a ver algunos aspectos de esta historia. En 1827, Gauss escribió su formidable
artículo sobre la geometría diferencial en las superficies: Disquisitiones
Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies
curvas). Aquí dio Gauss una nueva idea que sería usada por Riemann: una
superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.
Imagen tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies
Geometría esférica
Llamamos con los términos
geometría esférica el estudio de las propiedades de rectas, puntos, segmentos,
y todas las figuras geométricas puestas en la superficie de una esfera. Esta
constituye un modelo o ejemplo de geometría no euclidiana. Es decir: la geometría
esférica es una geometría diferente a la clásica euclidiana pero que tiene
perfecta validez.
Imagen
tomada de http://www.fotosimagenes.org/geometria-esferica
Referencia bibliográfica
Ruiz,
A. (1999).Geometrías no euclidianas (1ra Ed). Costa Rica: Universidad de Costa
Rica
Stewart, I. (1945). Historia de las
matemáticas en los últimos 10.000 años. Recuperado de http://cbtis13.org/docentes/delangelb/ada/pdf/Historia%20de%20las%20matematicas%20en%20los%20ultimos%2010000%20a%F1os.pdf
