Matemática: Un viaje a través de su historia: Surgimiento de otras geometrías

Geometría no euclidiana

Gauss al igual que el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), y el húngaro János Bolyai (1802-1860), crearon independientemente las geometrías no euclidianas. Gauss se adelantó en el tiempo a los otros matemáticos, pero no publicó sus resultados.

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de Göttingen. Gauss produjo resultados del más alto nivel en casi todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.

Los esfuerzos de Gauss en la geometría no euclidiana empezaron desde 1792, cuando tenía 15 años, cuando le habría dicho a su amigo Schumacher que tenía la idea de una geometría válida sin el quinto postulado euclidiano. No obstante Gauss pasó varios años tratando de deducir el postulado a partir de otros.

En 1799 Gauss le escribió un carta al matemático húngaro Wolfgang Farkas Bolyai (1775-1856) en la que le expresaba su opinión: no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados euclidianos, y empezó a prestarle mucho cuidado a la existencia de geometrías sin ese postulado válidas y también aplicables a la realidad.

A partir de 1813 Gauss trabajó en la nueva geometría que llamó primero anti-euclidiana, luego astral y finalmente no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión que no podía probarse que los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y su verdad necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.

Carl Friedrich Gauss

Imagen tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Geometría Analítica

Conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa; al decir de Descartes, la expresión de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigüedad esta vinculación se trató de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discípulo de Eudoxo, se supone que conocía algo de geometría analítica; aunque con las limitaciones impuestas al álgebra por los griegos es difícil que esto haya sido muy desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en su famosa obra Las Cónicas, y quien vivió alrededor de los años 262 y 190 a.C., usó rectas de referencia para puntos, también un diámetro y una tangente a la misma para expresar esos puntos; es decir, algo parecido a lo que en geometría analítica moderna hacemos cuando usamos los ejes de coordenadas. También Pappus y Omar Khayyam los usaron en su resolución de ecuaciones cúbicas.

Parte de la obra de Las Cónicas fue traducida por los árabes y fue introducida en Europa precisamente por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un científico amigo de Newton.

René Descartes

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Geometría proyectiva

Un campo de la geometría que también posee importancia fue el estudio de las propiedades proyectivas de las figuras, lo que se suele llamar como la Geometría Proyectiva. Puede encontrarse trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la obra desarrollada primeramente por Gaspard Monge (1746-1818), quien fue director de la Ecole Polytechnique en Francia y que, muchas veces, se caracteriza como el primer especialista moderno de la geometría. Monge publicó su libro Géométrie descriptive, que condensaba sus lecciones en la Ecole Normale entre 1794 y 1795, que utilizaba proyecciones

Fue, sin embargo, un discípulo de Monge, Jean Victor Poncelet (1788-1867), quien realmente hizo una gran sistematización de estas propiedades proyectivas de las figuras (Applications d'analyse et de géométrie 1813-1814, Traité des propietés projectives des figures , 1822).

Jean Victor Poncelet

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Geometría diferencial

Riemann hizo más que crear una nueva geometría: colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Ya no se trataba de que se cumpliera el postulado de las paralelas o no, Riemann preconizaba un cambio de visión total sobre la geometría. Para Riemann la geometría ya no debía ser sobre puntos o las rectas del espacio como solemos conocerlo, la geometría debía tratar de lo que se llama variedades. Vamos a ver algunos aspectos de esta historia. En 1827, Gauss escribió su formidable artículo sobre la geometría diferencial en las superficies: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas). Aquí dio Gauss una nueva idea que sería usada por Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

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Geometría esférica

Llamamos con los términos geometría esférica el estudio de las propiedades de rectas, puntos, segmentos, y todas las figuras geométricas puestas en la superficie de una esfera. Esta constituye un modelo o ejemplo de geometría no euclidiana. Es decir: la geometría esférica es una geometría diferente a la clásica euclidiana pero que tiene perfecta validez.